Frage zu Satz über Implizite Funktionen
 

Ich habe die Niveaumenge: f(x,y)=x^2+y^2-6y+5=0

Aufgabe:

Für den Punkt P=(0,1) gilt f(0,1)=0. Man überprüfe , ob sich die Niveaumenge in einer Umgebung von P eindeutig durch eine C1-Funktion y(x) oder x(y) darstellen lässt.

Antwort:

Jacobi Matrix von g(0,1) liefert (0,-4) und daraus folgt nach dem Satz über Implizite Funktionen, dass sich g(x,y) =0 in einer Umgebung von P=(0,1) eindeutig durch eine C1 Funktion y(x) darstellen lässt.

Ich versteh die Schlussfolgerung nicht ganz. Warum z.b. nicht x(y)? Weil Jacobi (0,1)=(0,-4) und x=0 und y=/=0? Daraus folgt dann das es y(x) gibt?

Wäre nett wenn das mal einer Aufschlüsseln könnte.

Danke

schau dir den satz von der impliziten funktion noch mal genau an.
in deinem beispiel hast du eine funktion F vom R² nach R.
d.h. deine jacobimatrix ist eine 1,2-matrix: DF = (2x,2y-6).
die "zweite Teilmatrix" ist in deinem fall 2y-6 was für deinen punkt (0,1) den wert -4 liefert.
und jetzt:
um den satz von der impliziten funktion anwenden zu können brauchst du als voraussetzung für die existenz einer wie oben gesuchten funktion y = f(x), dass diese zweite teilmatrix, also hier -4 INVERTIERBAR ist; und das ist so (-1/4).
also existiert eine funktion f mit f(x_null) = y_null, so dass F[x,f(x)] = 0 für alle x aus einer offenen Umgebung von x_null.

Ah ok habs verstande.

Invertierbar ist also das Stichwort.

Gibt es dann überhaupt möglichkeiten bei dennen das nicht Invertierbar ist obwohl die Teilmatrix =/= 0 ist?

ja klar.
du darfst nicht NUR vom eindimensionalen fall (funktion nach R) ausgehen.
stell dir etwa eine funktion F von R x R² in den R², also von R³ nach R² vor.
x aus R und y aus R².
dann ist deine jacobimatrix eine 2,3 matrix und die zu betrachtende teilmatrix dann eben eine 2,2 matrix.
und natürlich ist nicht jede matrix =/= 0 invertierbar, sondern nur die regulären matrizen mit det =/= 0 (also alle mit det = 0 eben NICHT).

wenn es sich wie in deinem fall um eine funktion NACH R handelt, ist deine relevante teilmatrix der jacobimatrix eine reelle zahl und natürlich gilt hier:
x =/= 0 <=> es exisitiert ein inverses element x_hoch_-1