Dein Vorhaben wird wohl in der Form nicht umzusetzen sein.
Was Du machen könntest wäre: 
Xbox per HDMI an den TFT anschlißen (für's Bild) und ein externes Soundsystem an die Xbox anschließen (für den Ton halt).
Von der Xbox über den PC durch die an diesen angeschlossenen Boxen und dennoch bildlich an dem TFT halte ich für eher unwahrscheinlich.
Und wenn Du die Xbox an die Grafikkarte anschließen 
würdest (und Du hättest ein zusätzliches Programm, dass Dir dann die Xbox auf Deinem Monitor anzeigen 
könnte), bliebe halt immernoch das Problem, dass Du nur Bild 
hättest - weil 
Grafikkarte. Dann kannst Du sie auch gleich direkt an den Monitor anschließen